Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

phân tích đa thức thành nhân tử

phân tích các đa thức sau thành nhân tử

phân tích thành nhân tử

Phương pháp dựa vào nghiệm tìm được của đa thức

- Nếu đa thức có nghiệm là a thì đa thức đó phân tích được thành nhân tử mà một nhân tử là x-a.

1. Nhẩm nghiệm

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên thì đó phải là ước của hệ số tự do.

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì ${\frac {f(1)}{a-1}}$ và ${\frac {f(-1)}{a+1}}$ đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.

Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2.

Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1.

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng ${\frac {p}{q}}$ trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.

+ Tính chất: Nếu một đa thức $P_{n}(x)$ có nghiệm $x=a$ thì đa thức $P_{n}(x)$ sẽ được phân tích thành: $P_{n}(x)=(x-a)H_{b}(x)$ trong đó $b=n-1$ .

VD: PTĐT thành nhân tử:

$P=P(x)=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)$ .Coi đa thức này là 1 đa thức có biến x, các biến còn lại là hệ số. Thay $x=y$ , ta có: $P(y)=0$

$=>y$ là một nghiệm của đa thức $P=P(x)$ $=>P=P(x)=(x-a)H_{b}(x)$

$P=P(x)=z^{2}(x-y)+x^{2}y-x^{2}z+y^{2}z-y^{2}x$

$=(x-y)(z^{2}+xy-zx-zy)$

$=(x-y)[z(z-x)-y(z-x)$

$=(x-y)(z-x)(z-y)$

$H_{b}(x)$ có thể được tìm bằng cách dùng phép chia đa thức 1 biến đã sắp xếp hoặc sử dụng lược đồ Horner để xác định các hệ số của nó.

VD: Phân tích đa thức $P(x)=x^{3}-x^{2}-7x+3$ thành nhân tử, biết x=3 là 1 nghiệm của P(x)

Vì x=3 là nghiệm của đa thức nên đa thức có nhân tử là x-3. Để tìm nhân tử còn lại, ta có thể đặt phép chia như hình.

{\begin{aligned}&{\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&x^{3}-\ \ x^{2}-7x\ +3\\&x^{3}-3x^{2}\end{aligned}}}}\left\vert {\begin{aligned}&{\underline {x-3\qquad }}\\&x^{2}+2x-1\end{aligned}}\right.\\&\qquad \ {\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&2x^{2}-7x\ +3\\&2x^{2}-6x\end{aligned}}}}\\&\qquad \qquad \ \ {\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&-x+3\\&-x+3\end{aligned}}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ \,0\end{aligned}}

Chia đa thức

P(x)=x^{3}-x^{2}-7x-3

cho

x-3

Vậy $P(x)=(x-3)(x^{2}+2x-1)$

Ngoài ra có thể xác định hệ số của nhân tử cần tìm bằng lược đồ Horner như sau:

Lược đồ Horner
	1	-1	-7	3
3	1	2	-1	0

2. Biệt số delta Δ (Áp dụng với các tam thức bậc hai)

Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Gọi Δ = b2 - 4ac

Nếu Δ $\geq$ 0 thì đa thức có nghiệm:

Δ $>$ 0 thì đa thức có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ và $x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ Khi đó đa thức $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Δ $=$ 0 thì đa thức có 1 nghiệm là $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$ . Khi đó $f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}$